TRUCOS CON EL DOMINÓ

Acostumbro salir los fines de semana a entretenerme jugando una partidita de dominó en el pool del señor José, aquí en el sector del Vigía, en Los Teques. Una tarde se nos presentó el señor Miguel y nos divirtió con un par de trucos que dejó a la concurrencia admirados por las dotes adivinatorias de Miguel.
El primer truco consistió en tomar siete fichas (o piedras como le decimos los jugadores de dominó) y responder sucesivamente a las preguntas de ¿cuántos blancos tienes? ¿cuántos 1? ¿cuántos 2? y así hasta ¿cuántos 6?. A cada respuesta Miguel separaba ordenadamente el número que decíamos de un arreglo de 3x7 que había colocado sobre la mesa con las 21 piedras sobrantes, al final el número de dobles que teníamos era igual a la cantidad de fichas que le quedaban en la segunda fila para retirarla completamente.
El segundo fue más sorprendente, él se alejaba de la mesa y sus alrededores de manera de no ver lo que estábamos haciendo y cuando lo llamábamos era capaz de adivinar el total de tantos de un grupo de piedras obtenidas según sus instrucciones que eran las siguientes: “coloque las 28 fichas boca abajo en la mesa y extraiga una primera ficha, mire el número de tantos que tiene y consérvela bocabajo, separe a otro lado de la mesa tantas piedras como haga falta para sumar doce con los tantos de la ficha vista; repita el procedimiento con otra ficha, es decir si usted agarra una ficha con 4 tantos debe separar 8 fichas del centro a un lado de la mesa, de tal manera que la cantidad de fichas en el centro va mermando mientras que a un lado de la mesa va creciendo y usted va acumulando de una en una su propio conjunto; el juego termina cuando las fichas del centro no alcanzan, y en ese caso, debe devolver al centro el número de piedras necesarias para completar el proceso, por ejemplo: si el número de fichas que quedan en el centro es de 3, y usted escoge una de ellas que tiene 7 tantos, debería pasar a un lado 5 piedras, pero sólo hay 2, así que pasa esas dos fichas al lado y devuelve 3 del conjunto de al lado hacia el centro para completar las 5 que tenía que mover. Otro ejemplo: si en el centro quedan 8 piedras y escoge una que tiene 1 tanto, debe mover 11 piedras, entonces pase las 7 que quedan y regrese 4 al centro para completar las 11”. Miguel regresaba a la mesa, veía la cantidad de piedras que teníamos en la mano y las que había en el centro (todas bocabajo) e indefectiblemente adivinaba el total de puntos que había en nuestras piedras.
El primer truco es relativamente fácil explicarlo si notamos que en un conjunto de 7 piedras el número de blancos,1,2,3,4,5 y 6 sumados al número de dobles es con seguridad 14. Hay que tomar en cuenta que cuando preguntamos el número de 2 que tenemos, se cuentan las piedras que tienen al menos un 2, es decir, el doble dos cuenta como una sola piedra. Pero el segundo truco nos hizo pensar más cuando Miguel explicó como calculaba la suma diciendo: “las tres primeras piedras de tu conjunto suman 11 en total y cada piedra adicional suma 13, luego le restamos el número de fichas que hay en el centro y el resultado es el total de tantos que tienes en tus manos”. Lo verificamos varias veces y la cosa funcionaba perfectamente, así que le prometí a Miguel y a los presentes que escribiría una explicación de semejante truco y aquí se las presento.
Al final el conjunto de fichas queda divido en tres subconjuntos: el conjunto de piedras a contar que llamaremos A, el de las piedras apartadas a un lado que llamaremos B y el de las que quedan en el centro que llamaremos C (C puede ser vacío, pero A y B no), los cardinales de A y B varían en cada paso, pero el de C sólo puede ser distinto de cero en el último paso, por eso llamaremos n al cardinal de A , Kn al cardinal de B y R al cardinal de C. Es claro que n + Kn + R = 28 porque entran en juego todas las fichas del dominó y cualquier ficha tiene que estar en uno de los tres subconjuntos, de aquí que Kn = 28 – n – R que llamaremos ecuación (1).
Por otro lado también debe ser claro que el proceso se repite por lo menos tres veces, pues después de la segunda ronda todavía deben quedar fichas en el centro, por lo tanto n ³ 3. Veamos ahora como son las sumas parciales Sn en cada paso (Sn es la suma de los tantos que tengo en mis manos después del paso n). En el primer paso, por el algoritmo, S1 + K1 = 12 por tanto S1 = 12x1 – K1 y en el segundo paso S2 + K2 = 24 (dos veces doce) y de ahí S2 = 12x2 – K2, pero desde el tercer paso en adelante pudiera estar involucrado en la suma parcial R, supongamos que el proceso se termina en el tercer paso, en este caso S3 + K3 no es 36 porque de B salieron R fichas que ya habían entrado alguna vez, por lo cual habría que descontar 2R del 36 de allí que S3 = 12x3 – K3 – 2R y en general, sabiendo que R sólo puede ser distinto de 0 cuando culmina el proceso podemos escribir
Sn = 12n – Kn – 2R para todo n natural y n £ 9.
Si sustituimos en esta última ecuación el valor de Kn dado por la ecuación (1) tendremos
Sn = 12n – (28 – n – R) – 2R
Sn = 12n – 28 + n + R – 2R
Sn = 13n – 28 – R.
Aquí, recordando que n ³ 3, escribimos – 28 como – 39 + 11 y nos queda:
Sn = 13n – 39 + 11 – R o bien
Sn = 11 + 13(n – 3) – R
Esta es la formula que Miguel utilizaba para “adivinar” los tantos que teníamos en la mano.
Miguel decía: “las tres primeras piedras de tu conjunto suman 11 en total…” ya tenemos el término independiente; “…y cada piedra adicional suma 13,…” lo explica el término 13(n – 3) ya que obligatoriamente n ³ 3 “…luego le restamos el número de fichas que hay en el centro…”, es decir R “…y el resultado es el total de tantos que tienes en tus manos” esto es Sn . Salud Miguel por habernos entretenido con estos trucos y salud también a todos los amantes de la matemática y jugadores de dominó que lean estas líneas.



Lisandro Alvarado
Colegio Los Hipocampitos
Los Teques